Метод Якоби

Представим матрицу коэффициентов $A$ в виде $A = L + D + R$ где $D$ - диагональная, а $L$ и $R$ - соответственно левая и правая строго треугольные матрицы (т.е. на главной диагонали вместо вектора D будут стоять нули). Тогда система $Ax = b$ может быть записана в виде $$Lx + Dx + Rx = b$$ приедем уравнение вида $Ax = b$ к виду $x=Bx+c$ $$x(L+R) + Dx = b\\ Dx = -x(L+R) + b\\ x = -D^{-1}(L+R)x + D^{-1}b$$ где в последнем уравнении $B = -D^{-1}(L+R)$, $c = D^{-1}b$ Основанный на таком приведении уравнения вида $Ax = b$ к виду $x=Bx+c$ метод простых итераций называют методом Якоби. В векторно-матричных обозначениях, он определяется формулой. Выведем формулу для итерационных вычислений $$x = -D^{-1}(L+R)x + D^{-1}b\\ x = -D^{-1}((L+R)x-b)$$ Заметим, что обратной матрицей к матрице $D=(a_{ij})^n_{i=1}$ служит матрица $D{-1}$ с элементами диагонали $d_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$, поэтому система в раскрытом виде будет равнозначна выражению диагональных элементов через остальные Для записи итерациооного процесса, добавим к системе индексы, показывающие текущую итерацию.

Теорема. В случае диагонального преобладания в матрице $A$ метод Якоби сходится. Определение. Диагональное преобладание в матрице $A$ означает, что